Nhờ mọi người giải hộ bài toán.

[ThanhLongBin]

Em viết chưa hết ý: Đúng là chúng ta đã chứng minh tính chất này:
S(b,k+1) = Tổng (C(n,n+k-1), n=0..b)!
Khi đó, em viết sai dấu +/-1 , bác đã sửa cho em. Đúng ko?
Trong đó C(i,j) chính là các hệ số của Tam giác Pascal mà!

[RDSS]

gởi ThanhLongBien
"Chào bác RDSS và bác Tuhiep,
Tôi năm nay cùng được Trời cho 54 tuổi, tức là kém bác Tư vài năm, hơn bác RD dăm tuổi."

câu bạn nói rất thông thường, nhưng với mình đó là câu nói lên: bạn có nhiều may mắn trời ban.
những ai cùng tuổi mình, hay lớn hơn mình năm ba tuổi sẽ phải chứng kiến cảnh tang thương của nước Việt. Sẽ phải chứa trong tim nhiều đau buồn, những đau buồn nhìn bằng mắt, nghe bằng tai, cảm nhận bằng tim óc.
ở tuổi 18 mình lần lượt dự đám ma cho gần 30 bạn học, cho vài mươi bạn trong xóm. Ở tuổi 22 mình nhìn cái đói giết hại lối xóm cả người, hay nhân cách.
sau đó vài năm, lại nhìn xác người lần lượt tấp vào bờ vì nạn vượt biên. nếu các bạn sống nơi hẻo lánh như mình sẽ chứng kiến cảnh giết người cướp của, của bọn côn đồ.
khoãng 15 năm trở lại đây, đất nước vươn lên từng ngày, có thể những người trẽ còn thấy nhiều điều chưa tốt, nhiều điều còn gây bức xúc;
nhưng mình phải chấp tay cảm ơn thượng đế. Hi vọng những người trẽ hôm nay và mãi mãi sau nầy được sống tốt đẹp hơn.

Nếu vậy em may mắn hơn các Bác rồi. Muốn phản bác lời của Bác nhưng ngại động chạm đến chính trị, điều mà ở site này có lẽ không nên.

[RDSS]

Em ko thấy vậy, bác ạ.
Trong Tam giác Pascal, ở mỗi hàng n, số cột luôn bị hạn chế và = n+1 !
Còn bảng H(b,k), hai chỉ số b,k hoàn toàn độc lập với nhau!
Em vẫn thấy có cái gì đó liên hệ giữa Dãy H(b,k) và Dãy Fibonacci!

Em lại không thấy sự lien hệ nào giữa hai dãy số này Bác ạ.

[ThanhLongBin]

Em lại không thấy sự lien hệ nào giữa hai dãy số này Bác ạ.

Mình thử cái này nhé:
Dãy H(b,k) dc dựng trên cở sở 3 Tiên đề
TĐ#1:
H(1,k)=1 với mọi k ;
TĐ#2:
:H(b,1)= 1 với mọi b
TĐ#3:
Với b,k >=1 bất kỳ
H(b+1,k+1)= H(b+1,k) +H(b,k).
Mình gọi là Tiên đề vì bác Tư coi mấy quan hệ này là không cần chứng minh.

Mình quan tâm nhất đến TĐ#3 vì nó có vẻ quan trọng nhất, có nhiều ảnh hưởng nhất! Cảm tính thôi nhé!
Giả thiết, tồn tại 1 số a nào đó có tính chất sau:
a^2 = a+1 (1)
Đây là phương trình bậc 2 có 2 nghiệm là
a1,a2 = (1+/- sqrt(5))/2 (2).
Nhân 2 vế (1) với số a^(b+k) ta dc:
a^(b+k+2)=a*(b+k+1) + a^(b+k) (3).
Xét dãy U(b,k) =a^(b+k) (3*).
Từ (3) => U(b+1,k+1) = U(b+1,k) + U(b,k); với mọi cặp (b,k) (4).
Bạn có thấy (4) và TĐ#3 chẳng có gì khác nhau cả?
Tuy vậy, dãy U(b,k) chưa phải là dãy H(b,k) vì chưa thỏa mãn 2 TĐ còn lại!
Ta thay a= a1,a2 trong (3*) và nhận dc 2 dãy U1(b,k) và U2(b,k) khác nhau.
Dễ dàng thấy, với mọi cặp số thực bất kỳ (r1,r2), dãy số sau đây:
R(b,k) =r1*U1 + r2*U2 cũng thỏa mãn TĐ#3.
Mình hy vọng, có thể tìm dc cặp số (r1,r2) thích hợp, để R(b,k) cũng thỏa mãn 2 TĐ còn lại thì ta sẽ nhận dc Công thức tổng quát của H(b,k) ở dạng đa thức !!!! Hay chưa???

Trong trường hợp đặc biệt, với r1=-r2= 1/sqrt(5),
dãy số R ta gọi là RD, có dạng:
R(b,k)= RD(n=b+k)= (a1^n -a2^n)/sqrt(5) (5).
Dãy RD(n) có mấy tính chất rất hay:
1.RD(0)=0.
2.RD(1)=1.
3.RD(2)=1.
...RD(n+2)=RD(n+1) + RD(1)

Đây chính là dãy Fibonacci nổi tiếng mà!!!

Mình nhờ RDSS tìm hộ cặp số kỳ diệu (r1,r2) để biến cái dãy R(b,k) thành dãy H(b,k) !!!!

[ThanhLongBin]

Lời dẫn: Bài toán vui này đã đăng từ trước nhưng vẫn chưa có ai giải. Sau khi Diễn đàn bị mất khá nhiều dữ liệu kể cả bài viết này, vậy xin phép đăng lại cho anh em cùng thư giãn.

Đầu bài: Có 46 bụi cây xếp thành vòng tròn. Trên mỗi bụi cây có 1 chú chim sâu đang đậu.Các chú chim này rất vui tính: tại mỗi thời điểm bất kỳ, có đúng 2 chú chim sâu bay sang bụi cây ở ngay bên cạch nhưng theo chiều bay ngược nhau: một con theo chiều kim đồng hồ, con kia theo chiều ngược lại.
Chứng minh rằng, không bao giờ xảy ra tình huống để có tất cả các chú chim sâu đậu trên cùng một bụi cây!
Mời các bạn yêu cờ-yêu toán cùng giải trí nhé!

[ThanhLongBin]

Lời dẫn: Bài toán vui này đã đăng từ trước nhưng vẫn chưa có ai giải. Sau khi Diễn đàn bị mất khá nhiều dữ liệu kể cả bài viết này, vậy xin phép đăng lại cho anh em cùng thư giãn.

Đầu bài: Có 46 bụi cây xếp thành vòng tròn. Trên mỗi bụi cây có 1 chú chim sâu đang đậu.Các chú chim này rất vui tính: tại mỗi thời điểm bất kỳ, có đúng 2 chú chim sâu bay sang bụi cây ở ngay bên cạch nhưng theo chiều bay ngược nhau: một con theo chiều kim đồng hồ, con kia theo chiều ngược lại.
Chứng minh rằng, không bao giờ xảy ra tình huống để có tất cả các chú chim sâu đậu trên cùng một bụi cây!
Mời các bạn yêu cờ-yêu toán cùng giải trí nhé!

Chào bác Tư, chào bạn RDSS và tất cả các bạn trong Diễn đàn.
Lâu quá rồi, vì nhiều lẽ khác nhau, nay tôi mới có dịp quay lại Diễn đàn.
Té ra bài vở vẫn còn mà người cũ chẳng thấy còn ai!
Nhẽ chăng, mạng ảo cũng như trong đời thực, hợp rồi lại tan , tan rồi lại hợp theo lẽ thường tình!
Mong lắm một phản hồi dù rất nhỏ của bác Tư và bạn RDSS!

Quay lại Bài "Những chú chim sâu..." một tí. Có lẽ cách trình bày đầu bài chưa dc rõ ràng, nay xin phép bổ sung cho thêm phần tường minh:
Đầu bài:
Có 46 bụi cây xếp thành vòng tròn và 1 cậu bé đứng thổi còi! Trên mỗi bụi cây có 1 chú chim sâu đang đậu.Các chú chim này rất vui tính: Mỗi khi cậu bé thổi 1 tiếng còi, thì có đúng 2 chú chim sâu bất kỳ, đang ở các bụi cây bất kỳ (có thể ở cùng 1 bụi cây cũng được!) , bay sang bụi cây ở ngay bên cạch nhưng theo chiều bay ngược nhau: một con theo chiều kim đồng hồ, con kia theo chiều ngược lại.
Chứng minh rằng, không bao giờ xảy ra tình huống để có tất cả các chú chim sâu đậu trên cùng một bụi cây!

Cái "cậu bé thổi còi" ở đây đóng vai trò giữ nhịp, đồng bộ các chuyến bay tới, bay lui của lũ chim mà thôi!!!!

Rất mong hồi âm

[nghiepdu]

Em xin giải bài này bằng phương pháp giới tính như sau. Giả sử tại trạng thái ban đầu 46 con chim xếp xen kẽ đực cái. Vậy có 23 con cái và 23 con đực. Giả sử tiếp mỗi một lần nhảy đều khiến con chim thay đổi giới tính của mình: đực thành cái, và cái thành đực. Dễ thấy các con trên cùng 1 cây luôn có cùng giới tính. Mỗi lần nhảy đều rơi vào 1 trong các tình huống sau:
- 2 con đực nhảy thành 2 con cái
- 2 con cái nhảy thành 2 con đực
- 1 con cái và 1 con đực nhảy thành 1 con đực và 1 con cái
Trong mọi trường hợp thì số con đực và số con cái ko thay đổi tính chẵn lẻ. Khi 46 con chui vào cùng 1 cây thì nó sẽ là 46 con cái hoặc 46 con đực. Vậy số đực cái khác tính chẵn lẻ với số đực cái ban đầu. Điều này ko thể xảy ra.

[ThanhLongBin]

Chào bạn nghiepdu. Chúc mừng bạn đã có lời giải rất hay và độc đáo.
Bài toán này tôi đã đăng ở Diễn đàn gần 4 tháng rồi, rất may là nhờ có bạn, nay đã có lời giải!
Bạn thử xét trường hợp tổng quát với số chim n=2k bất kỳ xem sao nhé? Lưu ý, trong đầu bài, có 1 điều kiện mà bạn chưa cần dùng đến với với trường hợp n=46.
"một con bay theo chiều kim đồng hồ, con kia theo chiều ngược lại"

[zzz]

Bạn thử xét trường hợp tổng quát với số chim n=2k bất kỳ xem sao nhé? Lưu ý, trong đầu bài, có 1 điều kiện mà bạn chưa cần dùng đến với với trường hợp n=46.
"một con bay theo chiều kim đồng hồ, con kia theo chiều ngược lại"

Với n=4*m + 2 thì dùng cách đánh dấu âm dương được, còn n = 4*m (nghĩa là k chẵn) thì cách âm dương không dùng được, lúc đó kết hợp với giả thiết "hai con bay ngược chiều" thì có lẽ cũng sẽ không thoả, nhưng phải dùng một biểu diễn tập hợp đó ở một đặc trưng khác để sao cho thực hiện phép biến đổi thì trạng thái giữ nguyên đặc trưng đó nhưng đặc trưng đó sẽ không thoả ở trạng thái đích (đánh dấu "âm dương" hay "đực cái" là một đặc trưng để giải trường hợp trên).

Đó có lẽ là nguyên lý chung để giải các bài toán dạng này.

[ThanhLongBin]

Chào bác zzz,
Lâu lâu mới quay lại thăm Diễn đàn, thấy bác vẫn phong độ như xưa.
Về bài toán này, mấu chốt chính là ở cách xây dựng "Hàm đánh giá" với đặc trưng như bác đã viết.
Bác thử cho vài gợi ý nhé?
Chúc vui.