Em viết chưa hết ý: Đúng là chúng ta đã chứng minh tính chất này:
S(b,k+1) = Tổng (C(n,n+k-1), n=0..b)!
Khi đó, em viết sai dấu +/-1 , bác đã sửa cho em. Đúng ko? :D
Trong đó C(i,j) chính là các hệ số của Tam giác Pascal mà!
Printable View
Em viết chưa hết ý: Đúng là chúng ta đã chứng minh tính chất này:
S(b,k+1) = Tổng (C(n,n+k-1), n=0..b)!
Khi đó, em viết sai dấu +/-1 , bác đã sửa cho em. Đúng ko? :D
Trong đó C(i,j) chính là các hệ số của Tam giác Pascal mà!
Nếu vậy em may mắn hơn các Bác rồi. Muốn phản bác lời của Bác nhưng ngại động chạm đến chính trị, điều mà ở site này có lẽ không nên.Trích dẫn:
Gửi bởi tuhiep
Em lại không thấy sự lien hệ nào giữa hai dãy số này Bác ạ.Trích dẫn:
Gửi bởi ThanhLongBin
Mình thử cái này nhé:Trích dẫn:
Gửi bởi RDSS
Dãy H(b,k) dc dựng trên cở sở 3 Tiên đề
TĐ#1:
H(1,k)=1 với mọi k ;
TĐ#2:
:H(b,1)= 1 với mọi b
TĐ#3:
Với b,k >=1 bất kỳ
H(b+1,k+1)= H(b+1,k) +H(b,k).
Mình gọi là Tiên đề vì bác Tư coi mấy quan hệ này là không cần chứng minh.
Mình quan tâm nhất đến TĐ#3 vì nó có vẻ quan trọng nhất, có nhiều ảnh hưởng nhất! Cảm tính thôi nhé! :D
Giả thiết, tồn tại 1 số a nào đó có tính chất sau:
a^2 = a+1 (1)
Đây là phương trình bậc 2 có 2 nghiệm là
a1,a2 = (1+/- sqrt(5))/2 (2).
Nhân 2 vế (1) với số a^(b+k) ta dc:
a^(b+k+2)=a*(b+k+1) + a^(b+k) (3).
Xét dãy U(b,k) =a^(b+k) (3*).
Từ (3) => U(b+1,k+1) = U(b+1,k) + U(b,k); với mọi cặp (b,k) (4).
Bạn có thấy (4) và TĐ#3 chẳng có gì khác nhau cả? :D
Tuy vậy, dãy U(b,k) chưa phải là dãy H(b,k) vì chưa thỏa mãn 2 TĐ còn lại!
Ta thay a= a1,a2 trong (3*) và nhận dc 2 dãy U1(b,k) và U2(b,k) khác nhau.
Dễ dàng thấy, với mọi cặp số thực bất kỳ (r1,r2), dãy số sau đây:
R(b,k) =r1*U1 + r2*U2 cũng thỏa mãn TĐ#3.
Mình hy vọng, có thể tìm dc cặp số (r1,r2) thích hợp, để R(b,k) cũng thỏa mãn 2 TĐ còn lại thì ta sẽ nhận dc Công thức tổng quát của H(b,k) ở dạng đa thức !!!! Hay chưa???
Trong trường hợp đặc biệt, với r1=-r2= 1/sqrt(5),
dãy số R ta gọi là RD, có dạng:
R(b,k)= RD(n=b+k)= (a1^n -a2^n)/sqrt(5) (5).
Dãy RD(n) có mấy tính chất rất hay:
1.RD(0)=0.
2.RD(1)=1.
3.RD(2)=1.
...RD(n+2)=RD(n+1) + RD(1)
Đây chính là dãy Fibonacci nổi tiếng mà!!! :D :D :D
Mình nhờ RDSS tìm hộ cặp số kỳ diệu (r1,r2) để biến cái dãy R(b,k) thành dãy H(b,k) !!!!
Lời dẫn: Bài toán vui này đã đăng từ trước nhưng vẫn chưa có ai giải. Sau khi Diễn đàn bị mất khá nhiều dữ liệu kể cả bài viết này, vậy xin phép đăng lại cho anh em cùng thư giãn.
Đầu bài: Có 46 bụi cây xếp thành vòng tròn. Trên mỗi bụi cây có 1 chú chim sâu đang đậu.Các chú chim này rất vui tính: tại mỗi thời điểm bất kỳ, có đúng 2 chú chim sâu bay sang bụi cây ở ngay bên cạch nhưng theo chiều bay ngược nhau: một con theo chiều kim đồng hồ, con kia theo chiều ngược lại.
Chứng minh rằng, không bao giờ xảy ra tình huống để có tất cả các chú chim sâu đậu trên cùng một bụi cây!
Mời các bạn yêu cờ-yêu toán cùng giải trí nhé!
Chào bác Tư, chào bạn RDSS và tất cả các bạn trong Diễn đàn.Trích dẫn:
Gửi bởi ThanhLongBin
Lâu quá rồi, vì nhiều lẽ khác nhau, nay tôi mới có dịp quay lại Diễn đàn.
Té ra bài vở vẫn còn mà người cũ chẳng thấy còn ai!
Nhẽ chăng, mạng ảo cũng như trong đời thực, hợp rồi lại tan , tan rồi lại hợp theo lẽ thường tình!
Mong lắm một phản hồi dù rất nhỏ của bác Tư và bạn RDSS!
Quay lại Bài "Những chú chim sâu..." một tí. Có lẽ cách trình bày đầu bài chưa dc rõ ràng, nay xin phép bổ sung cho thêm phần tường minh:
Đầu bài:
Có 46 bụi cây xếp thành vòng tròn và 1 cậu bé đứng thổi còi! Trên mỗi bụi cây có 1 chú chim sâu đang đậu.Các chú chim này rất vui tính: Mỗi khi cậu bé thổi 1 tiếng còi, thì có đúng 2 chú chim sâu bất kỳ, đang ở các bụi cây bất kỳ (có thể ở cùng 1 bụi cây cũng được!) , bay sang bụi cây ở ngay bên cạch nhưng theo chiều bay ngược nhau: một con theo chiều kim đồng hồ, con kia theo chiều ngược lại.
Chứng minh rằng, không bao giờ xảy ra tình huống để có tất cả các chú chim sâu đậu trên cùng một bụi cây!
Cái "cậu bé thổi còi" ở đây đóng vai trò giữ nhịp, đồng bộ các chuyến bay tới, bay lui của lũ chim mà thôi!!!!
Rất mong hồi âm
Em xin giải bài này bằng phương pháp giới tính như sau. Giả sử tại trạng thái ban đầu 46 con chim xếp xen kẽ đực cái. Vậy có 23 con cái và 23 con đực. Giả sử tiếp mỗi một lần nhảy đều khiến con chim thay đổi giới tính của mình: đực thành cái, và cái thành đực. Dễ thấy các con trên cùng 1 cây luôn có cùng giới tính. Mỗi lần nhảy đều rơi vào 1 trong các tình huống sau:
- 2 con đực nhảy thành 2 con cái
- 2 con cái nhảy thành 2 con đực
- 1 con cái và 1 con đực nhảy thành 1 con đực và 1 con cái
Trong mọi trường hợp thì số con đực và số con cái ko thay đổi tính chẵn lẻ. Khi 46 con chui vào cùng 1 cây thì nó sẽ là 46 con cái hoặc 46 con đực. Vậy số đực cái khác tính chẵn lẻ với số đực cái ban đầu. Điều này ko thể xảy ra.
Chào bạn nghiepdu. Chúc mừng bạn đã có lời giải rất hay và độc đáo.
Bài toán này tôi đã đăng ở Diễn đàn gần 4 tháng rồi, rất may là nhờ có bạn, nay đã có lời giải!
Bạn thử xét trường hợp tổng quát với số chim n=2k bất kỳ xem sao nhé? Lưu ý, trong đầu bài, có 1 điều kiện mà bạn chưa cần dùng đến với với trường hợp n=46.
"một con bay theo chiều kim đồng hồ, con kia theo chiều ngược lại"
Với n=4*m + 2 thì dùng cách đánh dấu âm dương được, còn n = 4*m (nghĩa là k chẵn) thì cách âm dương không dùng được, lúc đó kết hợp với giả thiết "hai con bay ngược chiều" thì có lẽ cũng sẽ không thoả, nhưng phải dùng một biểu diễn tập hợp đó ở một đặc trưng khác để sao cho thực hiện phép biến đổi thì trạng thái giữ nguyên đặc trưng đó nhưng đặc trưng đó sẽ không thoả ở trạng thái đích (đánh dấu "âm dương" hay "đực cái" là một đặc trưng để giải trường hợp trên).Trích dẫn:
Gửi bởi ThanhLongBin
Đó có lẽ là nguyên lý chung để giải các bài toán dạng này.
Chào bác zzz,
Lâu lâu mới quay lại thăm Diễn đàn, thấy bác vẫn phong độ như xưa.
Về bài toán này, mấu chốt chính là ở cách xây dựng "Hàm đánh giá" với đặc trưng như bác đã viết.
Bác thử cho vài gợi ý nhé?
Chúc vui.
Chào các bạn.
Mình có 1 hướng giải cho trường hợp tổng quát n=2*k.
Trước hết gọi mc(k) là số chim lớn nhất trên 1 bụi cây, ta dễ chứng minh được mc(k)+2 >= mc(k+1)
Giờ dùng phép qui nạp
- Dễ thấy bài toán đúng với k=1 (n=2)
- Giả sử bài toán đung với k, tức là mc(k) < 2*k => mc(k+1) < 2*(k+1) => bài toán đúng với k+1.
Vậy bài toán đúng với mọi trường hợp.
Lúc đầu tôi cũng nghĩ có thể dùng quy nạp, nhưng sau thấy ko có cách nào lồng 1 vòng tròn 2*n cây vào trong 1 vòng tròn 2*n+2 cây (vì các cây đòi hỏi phải liên tiếp) nên nghĩ là khó vận dụng. Như bác Thanhlong đã viết, với số cây chẵn lời giải cần phải sử dụng chi tiết "nhảy ngược chiều và nhảy cùng chiều", sau đây là một đề xuất lời giải.
Đánh số các cây theo chiều kim đồng hồ theo thứ tự 0,1,2,…,n,-n+1,-n+2,…,-2,-1. Trục 0 và n giống như trục 12h-6h trên đồng hồ.
Giả sử lúc đầu mỗi con chim chỉ có 1 chân. Giả sử nếu nhảy theo chiều kim đồng hồ số chân giảm đi 1, nếu nhảy ngược chiều kim đồng hồ số chân tăng lên 1.
Mỗi 1 lần nhảy có 1 con chim tăng lên 1 chân, 1 con chim giảm đi 1 chân nên tổng số chân chim không đổi là 2*n.
Không mất tính tổng quát giả sử sẽ có lúc tất cả các con chim gặp nhau ở cây 0.
Con chim ở cây i, khi hội tụ ở 0 sẽ có số chân là 1+ i + h*2*n, với h là hệ số có thể âm có thể dương, tùy theo con chim nhảy về 0 rồi lại nhảy thêm vài vòng tròn xuôi ngược.
Như vậy khi tính tổng số chân chim tại vị trí 0 thì nó sẽ là 2*n + n + x*2*n. Sở dĩ +n đó là vì các cặp (1, -1), (2, -2),… triệt tiêu cho nhau, và con dư một con ở cây n vị trí 6h. Nói tóm lại tổng số chân chim là n + bội số của 2*n. Nhưng số này lại bằng 2*n ko đổi. Điều này ko thể xảy ra vì n không chia hết cho 2*n.
Chào bạn MRAQ2000,Trích dẫn:
Gửi bởi MRAQ2000
Phương pháp Quy nạp của bạn là một lựa chọn rất tự nhiên. Tuy vậy, khâu quan trọng nhất là phải CMR:
mc(k+1) < mc(k)+2
thì bạn lại chỉ suy diễn, coi đó là hiển nhiên!
Bạn thử chứng minh điều đó một cách chặt chẽ hơn nhé!
Hoan hô bạn nghiepdu !Trích dẫn:
Gửi bởi nghiepdu
Bạn có rất nhiều sáng kiến kết hợp Toán học với Sinh học! Ở lần trước, bạn có kế hoạch "chuyển đổi giới tính" rất táo bạo cho các chú chim vui tính. Còn lần này, bạn chỉ định "cưa chân, vặt cánh" chúng mà thôi! :D :D :D
Với phương án mới này, có vẻ như bạn đã rất gần với lời giải rồi đấy!
Tuy vậy, trong lập luận của bạn còn vài điểm chưa phù hợp với yêu cầu của Bài toán:
1. Cách đánh số của bạn chưa rõ ràng: " 0,1,2,…,n,-n+1,-n+2,…,-2,-1.". Hình như số các bụi cây sẽ không bằng 2n đâu!!!!
2. Lập luận về số chân của lũ chim: "tổng số chân chim tại vị trí 0 thì nó sẽ là 2*n + n + x*2*n". Điều này chưa đúng!
Bạn sắp đến đích rùi, cố lên!!!
Tôi đã chứng minh được mc(k) = 2k-1 với 1 sự thỏa mái hơn nhiều: mối lần (phải có) 2 con chim bay đến 2 bụi cây khác với chiều bay cũng thỏa mái luôn. Như bạn Nghiepdu nói khó dùng phép quy nạp (trong trường hợp bài toán gốc) thì ta sẽ cởi bỏ những ràng buộc đó và được kết quả mạnh hơn nhiều. Bài toán cũng có thể mở rộng với 3, 4 , ... con chim bay với số bụi cây là 3k, 4k, ...
Bạn Nghiepdu có cách giải với n=46 rất thú vị làm tôi nhớ đến bài toán "Vừa gà vừa chó, bó lại cho tròn ..."
Lập luận của bạn khi quy nạp chưa chắc chắn ở chỗ này đây:Trích dẫn:
Gửi bởi MRAQ2000
1. Bạn giả thiết rằng mc(k)=2k-1. Tức là với 2k con chim, không bao giờ có quá 2k-1 con trên cùng 1 bụi cây. Như vậy hoàn toàn có thể xảy ra trường hợp có đúng 2k-2 con trên 1 bụi, 2 con còn lại ở bụi cây khác cạnh đấy!
2. Với n=2(k+1), lại có thêm 2 con nữa đang ở bụi cây "khác thứ 2". Như vậy, trên 3 bụi cây liền nhau, số chim hoàn toàn có thể là: 2, 2(k-1), 2. Tình huống này không mâu thuẫn với giả thiết mc(k)=2k-1.
3. Sau 2 nhịp thổi còi tiếp theo, 4 con lẻ kia dễ dàng bay về bụi cây ở giữa, và số chim đậu ở đó là 2(k+1)!!!!
Đề xuất tổng quát hóa bài toán với 3,4,.. con chim bay đồng thời với 3k,4k,.... bụi cây của bạn e rằng hơi "thoải mái" quá, nhất là khi đó chiều bay cũng "thoải mái" luôn!
Ví dụ, với 3 con trên 3 bụi cây
1. Nhịp thứ 1: 1,1,1
2. Nhịp thứ 2: 0,2,1
3. Nhịp thứ 3: 3,0,0
Mời bạn phân tích tiếp nhé!