Tượng kỳ thách đố

[beconan2010]

Ký hiệu:
NX là ngả xuống
BT: bên trái
BP: bên phải
THB: thăng bằng
Đánh số các quân từ 1 - 12

Cân lần 1: 1 2 3 4 với 5 6 7 8.

Nếu thăng bằng thì quân giả từ 9 - 12.
Cân lần 2: 1 9 với 10 11,
Nếu thăng bằng -> quân giả là 12 và mất 1 lần cân nữa để xác định nặng hay nhẹ.
Nếu không, ghi nhớ nghiêng về phía bên nào, và cân lần 3: 11 với 10.
Nếu thăng bằng -> 9 là giả và dựa vào lần 2 để biết nặng nhẹ, nếu không thăng bằng thì có các trường hợp:
+ lần 3 NX BT, lần 2 NX BT => 10 là giả và nhẹ hơn
+ lần 3 NX BT, lần 2 NX BP => 11 là giả và nhẹ hơn
+ lần 3 NX BP, lần 2 NX BT => 11 là giả và nặng hơn
+ lần 3 NX BP, lần 2 NX BP => 10 là giả và nặng hơn
Nếu không thăng bằng, bi giả từ 1 -> 8, không mất tính tổng quát, giả sử cân ngả xuống bên trái. Trong trường hợp ngả xuống bên phải, đánh số lại các quân cờ (1-> 4 thành 5->8 và ngược lại)

Cân lần 2: 1 5 9 10 và 2 3 8 11 (9 lúc này là thật)
Nếu thăng bằng thì 4 hoặc 6 hoặc 7 là giả và chỉ có 2 trường hợp (4 nặng hơn, hoặc 6, 7 nhẹ hơn do cân lần trước nghiêng xuống bên trái)

Cân lần 3: 6 với 7: nếu cân NX BT => 7 giả và nhẹ hơn, NX BP, 6 giả và nhẹ hơn. Thăng bằng 4 giả và nặng hơn.

Nếu cân lần 2 không thăng bằng, có 2 trường hợp
NX BT: 1 hoặc 8 là giả, do lần trước cũng NX BT, lúc này chỉ có 2 tình huống: 1 giả và nặng hơn, 8 giả và nhẹ hơn, cân lần 3: 1 với 10 để xác định.
NX BP: chỉ có 2 trường hợp 2 3 là giả và nặng hơn hoặc 5 là giả và nhẹ hơn
Cân lần 3: 2 và 3
Nếu thăng bằng: 5 là giả và nhẹ hơn
Nếu NX BT: 2 là giả và nặng hơn
Nếu NX BP: 3 là giả và nặng hơn

Chúc mừng bạn có lời giải đúng nhất. Bạn có ý tưởng hay nhưng hình như cách giải chưa được tối ưu.
Bài toán này tôi được 1 anh bạn đố tôi khi còn đi học. Đây là bài giải của tôi:
Chia quân cờ làm 3 nhóm :
-Nhóm 1: A1-A2-A3-A4
-Nhóm 2: B1-B2-B3-B4
-Nhóm 3: C1-C2-C3-C4
Cân lần 1: Nhóm 1 và Nhóm 2
1.TH1 : N1=N2 suy ra QCĐB ở nhóm 3.
Cân lần 2 : (B1-B2-B3) và (C1-C2-C3)
-Nếu = nhau suy ra QCĐB là C4. Cân lần 3 để biết nặng hay nhẹ.
-Nếu lệch (giả sử C1-C2-C3 nặng) thì cân lần 3: C1 và C2. bằng nhau thì QCĐB là C3 nặng. còn không bằng nhau thì QCĐB là quân nặng. trường hợp nhẹ thì cũng tương tự để chọn quân nhẹ.
2.TH2 : N1>N2 suy ra nhóm có quân C là BT(N1<N2 thì cũng tương tự) thì mỗi nhóm chỉ giữ 1 quân và hoán vị như sau :
-Nhóm 1*: A1-C2-C3-C4
-Nhóm 2*: B1-A2-A3-A4
-Nhóm 3*: C1-B2-B3-B4
Cân lần 2 : Nhóm 1* và Nhóm 2*
-Nếu N1*=N2* nghĩa là QCĐB đã bị đưa ra N3* tức quân (B2-B3-B4) và ta biết nó nhẹ. vậy cân lần 3: B2 và B3. Bằng nhau thì QCĐB là B4. Không bằng nhau thì chọn quân nhẹ là đáp số.
-Nếu tiếp tục N1*>N2* nghĩa là QCĐB chỉ có thể là A1 hoặc B1. Lưu ý là đã biết A1>B1. vậy cân lần 3: A1 với 1 quân còn lại . nếu = nhau thì QCĐB là B1 nhẹ. Nếu không bằng nhau dĩ nhiên là A1 nặng.
-Nếu đổi chiều N1*<N2* nghĩa là QCĐB bị hoán vị làm đổi chiều. Suy ra (A2-A3-A4) có QCĐB nặng. tương tự như trên cân A2 với A3 là xong!

Tóm lại ta cố gắng đưa về bài toán cơ bản nhóm 3 quân cờ đã biết Nặng hay Nhẹ là xong!