Tượng kỳ thách đố

[pineflower]

bài toán như sau : Sau khi Archimedes giải cho nhà vua bài toán về chiếc vương miện thì mọi người rất thán phục. 1 lần nọ có sứ thần nước ngoài lại đến thách đố. Hắn mang cho Nhà vua 1 bộ cờ mà ở xứ hắn chơi có tất cả 12 quân cờ đúc bằng vàng ròng. 12 quân cờ kích thước như nhau nhưng trong đó có 1 quân cờ đặc biệt, có trọng lượng khác với 11 quân còn lại. Chỉ bằng cân đòn (không có quả cân), làm sao chỉ 3 lần cân phải xác định được quân cờ đặc biệt kia và cho biết nó nặng hay nhẹ hơn các quân còn lại.
Archimedes thì giải được ngay nhưng ông muốn dành cơ hội cho các bạn đấy.! Nhanh tay lên phần thưởng là bộ cờ 12 quân cờ bằng vàng ròng đấy!!!

Ký hiệu:
NX là ngả xuống
BT: bên trái
BP: bên phải
THB: thăng bằng
Đánh số các quân từ 1 - 12

Cân lần 1: 1 2 3 4 với 5 6 7 8.

Nếu thăng bằng thì quân giả từ 9 - 12.
Cân lần 2: 1 9 với 10 11,
Nếu thăng bằng -> quân giả là 12 và mất 1 lần cân nữa để xác định nặng hay nhẹ.
Nếu không, ghi nhớ nghiêng về phía bên nào, và cân lần 3: 11 với 10.
Nếu thăng bằng -> 9 là giả và dựa vào lần 2 để biết nặng nhẹ, nếu không thăng bằng thì có các trường hợp:
+ lần 3 NX BT, lần 2 NX BT => 10 là giả và nhẹ hơn
+ lần 3 NX BT, lần 2 NX BP => 11 là giả và nhẹ hơn
+ lần 3 NX BP, lần 2 NX BT => 11 là giả và nặng hơn
+ lần 3 NX BP, lần 2 NX BP => 10 là giả và nặng hơn
Nếu không thăng bằng, bi giả từ 1 -> 8, không mất tính tổng quát, giả sử cân ngả xuống bên trái. Trong trường hợp ngả xuống bên phải, đánh số lại các quân cờ (1-> 4 thành 5->8 và ngược lại)

Cân lần 2: 1 5 9 10 và 2 3 8 11 (9 lúc này là thật)
Nếu thăng bằng thì 4 hoặc 6 hoặc 7 là giả và chỉ có 2 trường hợp (4 nặng hơn, hoặc 6, 7 nhẹ hơn do cân lần trước nghiêng xuống bên trái)

Cân lần 3: 6 với 7: nếu cân NX BT => 7 giả và nhẹ hơn, NX BP, 6 giả và nhẹ hơn. Thăng bằng 4 giả và nặng hơn.

Nếu cân lần 2 không thăng bằng, có 2 trường hợp
NX BT: 1 hoặc 8 là giả, do lần trước cũng NX BT, lúc này chỉ có 2 tình huống: 1 giả và nặng hơn, 8 giả và nhẹ hơn, cân lần 3: 1 với 10 để xác định.
NX BP: chỉ có 2 trường hợp 2 3 là giả và nặng hơn hoặc 5 là giả và nhẹ hơn
Cân lần 3: 2 và 3
Nếu thăng bằng: 5 là giả và nhẹ hơn
Nếu NX BT: 2 là giả và nặng hơn
Nếu NX BP: 3 là giả và nặng hơn

[beconan2010]

Ký hiệu:
NX là ngả xuống
BT: bên trái
BP: bên phải
THB: thăng bằng
Đánh số các quân từ 1 - 12

Cân lần 1: 1 2 3 4 với 5 6 7 8.

Nếu thăng bằng thì quân giả từ 9 - 12.
Cân lần 2: 1 9 với 10 11,
Nếu thăng bằng -> quân giả là 12 và mất 1 lần cân nữa để xác định nặng hay nhẹ.
Nếu không, ghi nhớ nghiêng về phía bên nào, và cân lần 3: 11 với 10.
Nếu thăng bằng -> 9 là giả và dựa vào lần 2 để biết nặng nhẹ, nếu không thăng bằng thì có các trường hợp:
+ lần 3 NX BT, lần 2 NX BT => 10 là giả và nhẹ hơn
+ lần 3 NX BT, lần 2 NX BP => 11 là giả và nhẹ hơn
+ lần 3 NX BP, lần 2 NX BT => 11 là giả và nặng hơn
+ lần 3 NX BP, lần 2 NX BP => 10 là giả và nặng hơn
Nếu không thăng bằng, bi giả từ 1 -> 8, không mất tính tổng quát, giả sử cân ngả xuống bên trái. Trong trường hợp ngả xuống bên phải, đánh số lại các quân cờ (1-> 4 thành 5->8 và ngược lại)

Cân lần 2: 1 5 9 10 và 2 3 8 11 (9 lúc này là thật)
Nếu thăng bằng thì 4 hoặc 6 hoặc 7 là giả và chỉ có 2 trường hợp (4 nặng hơn, hoặc 6, 7 nhẹ hơn do cân lần trước nghiêng xuống bên trái)

Cân lần 3: 6 với 7: nếu cân NX BT => 7 giả và nhẹ hơn, NX BP, 6 giả và nhẹ hơn. Thăng bằng 4 giả và nặng hơn.

Nếu cân lần 2 không thăng bằng, có 2 trường hợp
NX BT: 1 hoặc 8 là giả, do lần trước cũng NX BT, lúc này chỉ có 2 tình huống: 1 giả và nặng hơn, 8 giả và nhẹ hơn, cân lần 3: 1 với 10 để xác định.
NX BP: chỉ có 2 trường hợp 2 3 là giả và nặng hơn hoặc 5 là giả và nhẹ hơn
Cân lần 3: 2 và 3
Nếu thăng bằng: 5 là giả và nhẹ hơn
Nếu NX BT: 2 là giả và nặng hơn
Nếu NX BP: 3 là giả và nặng hơn

Chúc mừng bạn có lời giải đúng nhất. Bạn có ý tưởng hay nhưng hình như cách giải chưa được tối ưu.
Bài toán này tôi được 1 anh bạn đố tôi khi còn đi học. Đây là bài giải của tôi:
Chia quân cờ làm 3 nhóm :
-Nhóm 1: A1-A2-A3-A4
-Nhóm 2: B1-B2-B3-B4
-Nhóm 3: C1-C2-C3-C4
Cân lần 1: Nhóm 1 và Nhóm 2
1.TH1 : N1=N2 suy ra QCĐB ở nhóm 3.
Cân lần 2 : (B1-B2-B3) và (C1-C2-C3)
-Nếu = nhau suy ra QCĐB là C4. Cân lần 3 để biết nặng hay nhẹ.
-Nếu lệch (giả sử C1-C2-C3 nặng) thì cân lần 3: C1 và C2. bằng nhau thì QCĐB là C3 nặng. còn không bằng nhau thì QCĐB là quân nặng. trường hợp nhẹ thì cũng tương tự để chọn quân nhẹ.
2.TH2 : N1>N2 suy ra nhóm có quân C là BT(N1<N2 thì cũng tương tự) thì mỗi nhóm chỉ giữ 1 quân và hoán vị như sau :
-Nhóm 1*: A1-C2-C3-C4
-Nhóm 2*: B1-A2-A3-A4
-Nhóm 3*: C1-B2-B3-B4
Cân lần 2 : Nhóm 1* và Nhóm 2*
-Nếu N1*=N2* nghĩa là QCĐB đã bị đưa ra N3* tức quân (B2-B3-B4) và ta biết nó nhẹ. vậy cân lần 3: B2 và B3. Bằng nhau thì QCĐB là B4. Không bằng nhau thì chọn quân nhẹ là đáp số.
-Nếu tiếp tục N1*>N2* nghĩa là QCĐB chỉ có thể là A1 hoặc B1. Lưu ý là đã biết A1>B1. vậy cân lần 3: A1 với 1 quân còn lại . nếu = nhau thì QCĐB là B1 nhẹ. Nếu không bằng nhau dĩ nhiên là A1 nặng.
-Nếu đổi chiều N1*<N2* nghĩa là QCĐB bị hoán vị làm đổi chiều. Suy ra (A2-A3-A4) có QCĐB nặng. tương tự như trên cân A2 với A3 là xong!

Tóm lại ta cố gắng đưa về bài toán cơ bản nhóm 3 quân cờ đã biết Nặng hay Nhẹ là xong!