Nhờ mọi người giải hộ bài toán.

[ThanhLongBin]

Lời dẫn: Bài toán vui này đã đăng từ trước nhưng vẫn chưa có ai giải. Sau khi Diễn đàn bị mất khá nhiều dữ liệu kể cả bài viết này, vậy xin phép đăng lại cho anh em cùng thư giãn.

Đầu bài: Có 46 bụi cây xếp thành vòng tròn. Trên mỗi bụi cây có 1 chú chim sâu đang đậu.Các chú chim này rất vui tính: tại mỗi thời điểm bất kỳ, có đúng 2 chú chim sâu bay sang bụi cây ở ngay bên cạch nhưng theo chiều bay ngược nhau: một con theo chiều kim đồng hồ, con kia theo chiều ngược lại.
Chứng minh rằng, không bao giờ xảy ra tình huống để có tất cả các chú chim sâu đậu trên cùng một bụi cây!
Mời các bạn yêu cờ-yêu toán cùng giải trí nhé!

[ThanhLongBin]

Lời dẫn: Bài toán vui này đã đăng từ trước nhưng vẫn chưa có ai giải. Sau khi Diễn đàn bị mất khá nhiều dữ liệu kể cả bài viết này, vậy xin phép đăng lại cho anh em cùng thư giãn.

Đầu bài: Có 46 bụi cây xếp thành vòng tròn. Trên mỗi bụi cây có 1 chú chim sâu đang đậu.Các chú chim này rất vui tính: tại mỗi thời điểm bất kỳ, có đúng 2 chú chim sâu bay sang bụi cây ở ngay bên cạch nhưng theo chiều bay ngược nhau: một con theo chiều kim đồng hồ, con kia theo chiều ngược lại.
Chứng minh rằng, không bao giờ xảy ra tình huống để có tất cả các chú chim sâu đậu trên cùng một bụi cây!
Mời các bạn yêu cờ-yêu toán cùng giải trí nhé!

Chào bác Tư, chào bạn RDSS và tất cả các bạn trong Diễn đàn.
Lâu quá rồi, vì nhiều lẽ khác nhau, nay tôi mới có dịp quay lại Diễn đàn.
Té ra bài vở vẫn còn mà người cũ chẳng thấy còn ai!
Nhẽ chăng, mạng ảo cũng như trong đời thực, hợp rồi lại tan , tan rồi lại hợp theo lẽ thường tình!
Mong lắm một phản hồi dù rất nhỏ của bác Tư và bạn RDSS!

Quay lại Bài "Những chú chim sâu..." một tí. Có lẽ cách trình bày đầu bài chưa dc rõ ràng, nay xin phép bổ sung cho thêm phần tường minh:
Đầu bài:
Có 46 bụi cây xếp thành vòng tròn và 1 cậu bé đứng thổi còi! Trên mỗi bụi cây có 1 chú chim sâu đang đậu.Các chú chim này rất vui tính: Mỗi khi cậu bé thổi 1 tiếng còi, thì có đúng 2 chú chim sâu bất kỳ, đang ở các bụi cây bất kỳ (có thể ở cùng 1 bụi cây cũng được!) , bay sang bụi cây ở ngay bên cạch nhưng theo chiều bay ngược nhau: một con theo chiều kim đồng hồ, con kia theo chiều ngược lại.
Chứng minh rằng, không bao giờ xảy ra tình huống để có tất cả các chú chim sâu đậu trên cùng một bụi cây!

Cái "cậu bé thổi còi" ở đây đóng vai trò giữ nhịp, đồng bộ các chuyến bay tới, bay lui của lũ chim mà thôi!!!!

Rất mong hồi âm

[nghiepdu]

Em xin giải bài này bằng phương pháp giới tính như sau. Giả sử tại trạng thái ban đầu 46 con chim xếp xen kẽ đực cái. Vậy có 23 con cái và 23 con đực. Giả sử tiếp mỗi một lần nhảy đều khiến con chim thay đổi giới tính của mình: đực thành cái, và cái thành đực. Dễ thấy các con trên cùng 1 cây luôn có cùng giới tính. Mỗi lần nhảy đều rơi vào 1 trong các tình huống sau:
- 2 con đực nhảy thành 2 con cái
- 2 con cái nhảy thành 2 con đực
- 1 con cái và 1 con đực nhảy thành 1 con đực và 1 con cái
Trong mọi trường hợp thì số con đực và số con cái ko thay đổi tính chẵn lẻ. Khi 46 con chui vào cùng 1 cây thì nó sẽ là 46 con cái hoặc 46 con đực. Vậy số đực cái khác tính chẵn lẻ với số đực cái ban đầu. Điều này ko thể xảy ra.

[ThanhLongBin]

Chào bạn nghiepdu. Chúc mừng bạn đã có lời giải rất hay và độc đáo.
Bài toán này tôi đã đăng ở Diễn đàn gần 4 tháng rồi, rất may là nhờ có bạn, nay đã có lời giải!
Bạn thử xét trường hợp tổng quát với số chim n=2k bất kỳ xem sao nhé? Lưu ý, trong đầu bài, có 1 điều kiện mà bạn chưa cần dùng đến với với trường hợp n=46.
"một con bay theo chiều kim đồng hồ, con kia theo chiều ngược lại"

[zzz]

Bạn thử xét trường hợp tổng quát với số chim n=2k bất kỳ xem sao nhé? Lưu ý, trong đầu bài, có 1 điều kiện mà bạn chưa cần dùng đến với với trường hợp n=46.
"một con bay theo chiều kim đồng hồ, con kia theo chiều ngược lại"

Với n=4*m + 2 thì dùng cách đánh dấu âm dương được, còn n = 4*m (nghĩa là k chẵn) thì cách âm dương không dùng được, lúc đó kết hợp với giả thiết "hai con bay ngược chiều" thì có lẽ cũng sẽ không thoả, nhưng phải dùng một biểu diễn tập hợp đó ở một đặc trưng khác để sao cho thực hiện phép biến đổi thì trạng thái giữ nguyên đặc trưng đó nhưng đặc trưng đó sẽ không thoả ở trạng thái đích (đánh dấu "âm dương" hay "đực cái" là một đặc trưng để giải trường hợp trên).

Đó có lẽ là nguyên lý chung để giải các bài toán dạng này.

[ThanhLongBin]

Chào bác zzz,
Lâu lâu mới quay lại thăm Diễn đàn, thấy bác vẫn phong độ như xưa.
Về bài toán này, mấu chốt chính là ở cách xây dựng "Hàm đánh giá" với đặc trưng như bác đã viết.
Bác thử cho vài gợi ý nhé?
Chúc vui.

[MRAQ2000]

Chào các bạn.

Mình có 1 hướng giải cho trường hợp tổng quát n=2*k.
Trước hết gọi mc(k) là số chim lớn nhất trên 1 bụi cây, ta dễ chứng minh được mc(k)+2 >= mc(k+1)
Giờ dùng phép qui nạp
- Dễ thấy bài toán đúng với k=1 (n=2)
- Giả sử bài toán đung với k, tức là mc(k) < 2*k => mc(k+1) < 2*(k+1) => bài toán đúng với k+1.
Vậy bài toán đúng với mọi trường hợp.

[ThanhLongBin]

Chào các bạn.

Mình có 1 hướng giải cho trường hợp tổng quát n=2*k.
Trước hết gọi mc(k) là số chim lớn nhất trên 1 bụi cây, ta dễ chứng minh được mc(k)+2 >= mc(k+1)
Giờ dùng phép qui nạp
- Dễ thấy bài toán đúng với k=1 (n=2)
- Giả sử bài toán đung với k, tức là mc(k) < 2*k => mc(k+1) < 2*(k+1) => bài toán đúng với k+1.
Vậy bài toán đúng với mọi trường hợp.

Chào bạn MRAQ2000,
Phương pháp Quy nạp của bạn là một lựa chọn rất tự nhiên. Tuy vậy, khâu quan trọng nhất là phải CMR:
mc(k+1) < mc(k)+2
thì bạn lại chỉ suy diễn, coi đó là hiển nhiên!
Bạn thử chứng minh điều đó một cách chặt chẽ hơn nhé!

[nghiepdu]

Lúc đầu tôi cũng nghĩ có thể dùng quy nạp, nhưng sau thấy ko có cách nào lồng 1 vòng tròn 2*n cây vào trong 1 vòng tròn 2*n+2 cây (vì các cây đòi hỏi phải liên tiếp) nên nghĩ là khó vận dụng. Như bác Thanhlong đã viết, với số cây chẵn lời giải cần phải sử dụng chi tiết "nhảy ngược chiều và nhảy cùng chiều", sau đây là một đề xuất lời giải.
Đánh số các cây theo chiều kim đồng hồ theo thứ tự 0,1,2,…,n,-n+1,-n+2,…,-2,-1. Trục 0 và n giống như trục 12h-6h trên đồng hồ.
Giả sử lúc đầu mỗi con chim chỉ có 1 chân. Giả sử nếu nhảy theo chiều kim đồng hồ số chân giảm đi 1, nếu nhảy ngược chiều kim đồng hồ số chân tăng lên 1.
Mỗi 1 lần nhảy có 1 con chim tăng lên 1 chân, 1 con chim giảm đi 1 chân nên tổng số chân chim không đổi là 2*n.
Không mất tính tổng quát giả sử sẽ có lúc tất cả các con chim gặp nhau ở cây 0.
Con chim ở cây i, khi hội tụ ở 0 sẽ có số chân là 1+ i + h*2*n, với h là hệ số có thể âm có thể dương, tùy theo con chim nhảy về 0 rồi lại nhảy thêm vài vòng tròn xuôi ngược.

Như vậy khi tính tổng số chân chim tại vị trí 0 thì nó sẽ là 2*n + n + x*2*n. Sở dĩ +n đó là vì các cặp (1, -1), (2, -2),… triệt tiêu cho nhau, và con dư một con ở cây n vị trí 6h. Nói tóm lại tổng số chân chim là n + bội số của 2*n. Nhưng số này lại bằng 2*n ko đổi. Điều này ko thể xảy ra vì n không chia hết cho 2*n.

[ThanhLongBin]

Lúc đầu tôi cũng nghĩ có thể dùng quy nạp, nhưng sau thấy ko có cách nào lồng 1 vòng tròn 2*n cây vào trong 1 vòng tròn 2*n+2 cây (vì các cây đòi hỏi phải liên tiếp) nên nghĩ là khó vận dụng. Như bác Thanhlong đã viết, với số cây chẵn lời giải cần phải sử dụng chi tiết "nhảy ngược chiều và nhảy cùng chiều", sau đây là một đề xuất lời giải.
Đánh số các cây theo chiều kim đồng hồ theo thứ tự 0,1,2,…,n,-n+1,-n+2,…,-2,-1. Trục 0 và n giống như trục 12h-6h trên đồng hồ.
Giả sử lúc đầu mỗi con chim chỉ có 1 chân. Giả sử nếu nhảy theo chiều kim đồng hồ số chân giảm đi 1, nếu nhảy ngược chiều kim đồng hồ số chân tăng lên 1.
Mỗi 1 lần nhảy có 1 con chim tăng lên 1 chân, 1 con chim giảm đi 1 chân nên tổng số chân chim không đổi là 2*n.
Không mất tính tổng quát giả sử sẽ có lúc tất cả các con chim gặp nhau ở cây 0.
Con chim ở cây i, khi hội tụ ở 0 sẽ có số chân là 1+ i + h*2*n, với h là hệ số có thể âm có thể dương, tùy theo con chim nhảy về 0 rồi lại nhảy thêm vài vòng tròn xuôi ngược.

Như vậy khi tính tổng số chân chim tại vị trí 0 thì nó sẽ là 2*n + n + x*2*n. Sở dĩ +n đó là vì các cặp (1, -1), (2, -2),… triệt tiêu cho nhau, và con dư một con ở cây n vị trí 6h. Nói tóm lại tổng số chân chim là n + bội số của 2*n. Nhưng số này lại bằng 2*n ko đổi. Điều này ko thể xảy ra vì n không chia hết cho 2*n.

Hoan hô bạn nghiepdu !
Bạn có rất nhiều sáng kiến kết hợp Toán học với Sinh học! Ở lần trước, bạn có kế hoạch "chuyển đổi giới tính" rất táo bạo cho các chú chim vui tính. Còn lần này, bạn chỉ định "cưa chân, vặt cánh" chúng mà thôi!
Với phương án mới này, có vẻ như bạn đã rất gần với lời giải rồi đấy!
Tuy vậy, trong lập luận của bạn còn vài điểm chưa phù hợp với yêu cầu của Bài toán:
1. Cách đánh số của bạn chưa rõ ràng: " 0,1,2,…,n,-n+1,-n+2,…,-2,-1.". Hình như số các bụi cây sẽ không bằng 2n đâu!!!!
2. Lập luận về số chân của lũ chim: "tổng số chân chim tại vị trí 0 thì nó sẽ là 2*n + n + x*2*n". Điều này chưa đúng!
Bạn sắp đến đích rùi, cố lên!!!