Nhờ mọi người giải hộ bài toán.

[ThanhLongBin]

Em lại không thấy sự lien hệ nào giữa hai dãy số này Bác ạ.

Mình thử cái này nhé:
Dãy H(b,k) dc dựng trên cở sở 3 Tiên đề
TĐ#1:
H(1,k)=1 với mọi k ;
TĐ#2:
:H(b,1)= 1 với mọi b
TĐ#3:
Với b,k >=1 bất kỳ
H(b+1,k+1)= H(b+1,k) +H(b,k).
Mình gọi là Tiên đề vì bác Tư coi mấy quan hệ này là không cần chứng minh.

Mình quan tâm nhất đến TĐ#3 vì nó có vẻ quan trọng nhất, có nhiều ảnh hưởng nhất! Cảm tính thôi nhé!
Giả thiết, tồn tại 1 số a nào đó có tính chất sau:
a^2 = a+1 (1)
Đây là phương trình bậc 2 có 2 nghiệm là
a1,a2 = (1+/- sqrt(5))/2 (2).
Nhân 2 vế (1) với số a^(b+k) ta dc:
a^(b+k+2)=a*(b+k+1) + a^(b+k) (3).
Xét dãy U(b,k) =a^(b+k) (3*).
Từ (3) => U(b+1,k+1) = U(b+1,k) + U(b,k); với mọi cặp (b,k) (4).
Bạn có thấy (4) và TĐ#3 chẳng có gì khác nhau cả?
Tuy vậy, dãy U(b,k) chưa phải là dãy H(b,k) vì chưa thỏa mãn 2 TĐ còn lại!
Ta thay a= a1,a2 trong (3*) và nhận dc 2 dãy U1(b,k) và U2(b,k) khác nhau.
Dễ dàng thấy, với mọi cặp số thực bất kỳ (r1,r2), dãy số sau đây:
R(b,k) =r1*U1 + r2*U2 cũng thỏa mãn TĐ#3.
Mình hy vọng, có thể tìm dc cặp số (r1,r2) thích hợp, để R(b,k) cũng thỏa mãn 2 TĐ còn lại thì ta sẽ nhận dc Công thức tổng quát của H(b,k) ở dạng đa thức !!!! Hay chưa???

Trong trường hợp đặc biệt, với r1=-r2= 1/sqrt(5),
dãy số R ta gọi là RD, có dạng:
R(b,k)= RD(n=b+k)= (a1^n -a2^n)/sqrt(5) (5).
Dãy RD(n) có mấy tính chất rất hay:
1.RD(0)=0.
2.RD(1)=1.
3.RD(2)=1.
...RD(n+2)=RD(n+1) + RD(1)

Đây chính là dãy Fibonacci nổi tiếng mà!!!

Mình nhờ RDSS tìm hộ cặp số kỳ diệu (r1,r2) để biến cái dãy R(b,k) thành dãy H(b,k) !!!!