Có 39 đồng tiền giống hệt nhau, trong đó có một đồng giả. Không biết đồng giả nhẹ hơn hay nặng hơn. Với một cân hai đĩa( hai đĩa cân hai bên, không có quả cân, có thể cho biết bên nào nặng hơn, nhẹ hơn hay thăng bằng ), nhờ bạn tìm đồng tiền giả và cho biết nó nặng hơn hay nhẹ hơn sau 4 lần cân.

Bài giải:
Chia 39 đồng tiền thành 3 phần mỗi phần 13 đồng
Cân lần 1: Bằng cách lấy 2 phần ra cân, có hai trường hợp xảy ra
(1a) Cân thăng bằng, ta kết luận 26 viên đã cân là các đồng thật.13 viên chưa cân có 1 đồng giả, ta đánh dấu từ 1 đến 13.
(1b) Cân không thăng bằng: Lúc đó ta đánh dấu các đồng ở phần nhẹ hơn từ 1 đến 13, các đồng ở phần nặng hơn từ 14 đến 26 để nhớ. Còn lại 13 đồng chưa cân gồm toàn đồng thật

Giải quyết trường hợp (1a)

Cân lần 2: Lấy ra hai phần trong đó phần 1 (các đồng đánh thứ tự từ 1..9 ), phần 2 (gồm 9 đồng thật ). Dựa vào kết quả cân thăng bằng hay không ta có 3 trường hợp xảy ra:

(1a)(2a): Nếu phần 1 nặng hơn phần 2, ta có thể kết luận đồng giả nằm trong các đồng từ 1..9 và nặng hơn đồng thật (tìm một đồng nặng hơn trong 9 đồng ta lấy 2 phần mỗi phần 3 đồng để cân nếu bằng ta lấy 2 đồng ở phần còn lại cân, nếu không ta lấy 2 đồng ở phần nặng hơn để cân

(1a)(2b): Nếu phần 1 nhẹ hơn phần 2, ta có thể kết luận đồng giả nằm trong các đồng từ 1..9 và nhẹ hơn đồng thật (tìm một đồng nhẹ hơn trong 9 đồng ta lấy 2 phần mỗi phần 3 đồng để cân nếu bằng ta lấy 2 đồng ở phần còn lại cân, nếu không ta lấy 2 đồng ở phần nhẹ hơn để cân

(1a)(2c): Nếu phần bằng phần 2, ta có thể kết luận đồng giả nằm trong các đồng từ 10..13. Ta thực hiện cân lần 3 như sau: Lấy phần 1 gồm các đồng 10, 11,12, phần 2 gồm 3 đồng thật, có 3 trường hợp xảy ra:

(1a)(2c3a): Nếu phần 1 nặng hơn phần 2, ta có thể kết luận đồng giả nằm trong các đồng từ 10..12 và nặng hơn đồng thật (tìm một đồng nặng hơn trong 3 đồng ta lấy 2 phần mỗi phần 1 đồng để cân

(1a)(2c3b): Nếu phần 1 nhẹ hơn phần 2, ta có thể kết luận đồng giả nằm trong các đồng từ 10..12 và nhẹ hơn đồng thật (tìm một đồng nhẹ hơn trong 3 đồng ta lấy 2 phần mỗi phần 1 đồng để cân.

(1a)(2c3c): Nếu phần 1 bằng phần 2, ta có thể kết luận đồng giả là đồng từ 13. Muốn biết nặng hay nhẹ hơn đồng thật ta thực hiện cân lần nữa.

----
Giải quyết trường hợp (1b)

Cân lần 2: Lấy ra hai phần trong đó phần 1 (các đồng đánh thứ tự từ 1..9 và 14..17), phần 2 (gồm các đồng 10..13 và 9 đồng thật). Dựa vào kết quả cân thăng bằng hay không ta có 3 trường hợp xảy ra:

(1b)(2a): Nếu phần 1 bằng phần 2, ta có thể kết luận đồng giả nằm trong các đồng từ 18..26 và nặng hơn đồng thật (tìm một đồng nặng hơn trong 9 đồng ta lấy 2 phần mỗi phần 3 đồng để cân nếu bằng ta lấy 2 đồng ở phần còn lại cân, nếu không ta lấy 2 đồng ở phần nặng để cân)

(1b)(2b): Nếu phần 1 nhẹ hơn phần 2, ta có thể kết luận đồng giả nằm trong các đồng từ 1..9 và nhẹ hơn đồng thật, làm tương tự như trên

(1b)(2c): Nếu phần 1 nặng hơn phần 2, ta suy ra đồng giả có thể nằm trong các đồng từ 14..17 đồng thời nặng hơn thật hoặc nằm trong các đồng từ 10..13 đồng thời nhẹ hơn thật. Đối với trường hợp 2c thực hiện cân tiếp lần 3 như sau: Lấy phần 1 gồm các đồng 10,11,14,15,16 và phần 2 gồm 5 đồng thật, có 3 trường hợp xảy ra

(1b)(2c)(3a): Nếu phần 1 nhẹ hơn phần 2 ta suy ra đồng giả nhẹ hơn đồng thật và có thể là đồng 10 hoặc 11, ta thực hiện cân lần 4 với 2 đồng đó nếu đồng nào nhẹ thì kết luận đó là đồng giả

(1b)(2c)(3b): Nếu phần 1 nặng hơn phần 2 ta suy ra đồng giả nặng hơn đồng thật và có thể là đồng 14 hoặc15 hoặc 16, ta thực hiện cân lần 4 với 2 đồng 14 và 15, nếu bằng nhau thì đồng 16 là giả, nếu không bằng nhau thì đồng nào nặng hơn là giả

(1b)(2c3c): Nếu phần 1 bằng phần 2, ta suy ra đồng giả có thể nằm trong các đồng 12..13 đồng thời nhẹ hơn thật hoặc là đồng 17 đồng thời nặng hơn thật. Đối với trường hợp 2c thực hiện cân tiếp lần 4 như sau: Lấy phần 1 gồm các đồng 12,17 và phần 2 gồm 2 đồng thật, có 3 trường hợp xảy ra

(1b)(2c)(3c)(4a): Nếu phần 1 nhẹ hơn phần 2 ta suy ra đồng giả nhẹ hơn đồng thật và đồng 12.

(1b)(2c)(3c)(4b): Nếu phần 1 nặng hơn phần 2 ta suy ra đồng giả nặng hơn đồng thật và đồng 17.

(1b)(2c)(3c)(4c): Nếu phần 1 bằng hơn phần 2 ta suy ra đồng giả nhẹ hơn đồng thật và đồng 13.