Nhờ mọi người giải hộ bài toán.

[RDSS]

Chào hai bạn RDSS và Tuhiep,
Mình vừa đi công tác về thấy các bạn tranh luận sôi nổi quá!
Phải công nhận, "bài toán thử bi" ở dạng tổng quát với số tầng=N và số bi=b bất kỳ đã vượt qua cái tầm "đố vui giải trí" rồi.
Mình rất thích ý tưởng của Tuhiep về dãy số "cấp số nhân" và kéo dài bằng "cấp số cộng".
Mình thấy cả hai bạn đều vô tình hay cố ý bỏ qua một yêu cầu của đầu bài là "Phải chứng minh số lần thử là nhỏ nhất"!
Để khỏi mất công tìm lại các trang trước, mình trình bày ngắn gọn phương pháp tạo dãy số của mình
Với mọi b>=2.
Gọi N[b,i] là phần tử thứ i của dãy với số bi=b cho trước. Sau này mình sẽ dùng dấu "[]" để đánh chỉ số, các bạn đừng nhầm với cách ký hiệu phần nguyên nhé.
N[b,i] = {i*(i+1)*..(i+b-2)}/{1*2...*(b-1)}. Cả tử số và mẫu số của phân số này là các tích của (b-1) số nguyên liên tiếp.
Gọi n là số phần tử của dãy.
S[b,n] là tổng của dãy n phần tử với số bi=b
Ko khó lắm có thể chứng minh rằng:
S[b,n]= {n*(n+1)*..(n+b-2)*(n+b-1)}/{1*2...*(b-1)*b}. Cả tử số và mẫu số của phân số này là các tích của b số nguyên liên tiếp. Các bạn thấy sự tương đồng N[b,n] với S[b,n] không? Nó đây này: S[b,n]=N[b+1,n] !!!
Ví dụ cụ thể luôn:
1. b=2=> N[2,i]=i.
Dãy số có dạng: 1,2,3,..,n
S[2,n]=n*(n+1)/2.
Cho n=14 => S[2,14]=105
Sau số lần thử = n =14, số tầng cao nhất tìm dc là 105. Đây là "bài toán 2 bi mà Tuhiep đã giải!
2. b=3 => N[3,i]=i*(i+1)/2
Dãy số có dạng: 1,3,6,..,n*(n+1)/2
S[3,n]=n*(n+1)*(n+2)/6.
Cho n=8 => S[3,8]= 8*9*10/6=120
Sau số lần thử = n+1 =9, (n+1 vì vỡ mất 1 hòn bi để trở thành bài toán 2 bi)
Số tầng cao nhất tìm dc là 120
3. b=4 => N[4,i]=i*(i+1)*(i+2)/6
Dãy số có dạng: 1,4,10,..,n*(n+1)*(n+2)/6
S[4,n]=n*(n+1)*(n+2)*(n+3)/24.
Cho n=6 => S[4,6]= 6*7*8*9/24=126
Sau số lần thử = n+2 =8,(n+2 vì vỡ mất 2 hòn bi để trở thành bài toán 2 bi)
Số tầng cao nhất tìm dc là 126.

Chào bạn! Mình hiểu ý bạn. Nhưng bạn tính e rằng không đúng vì: 2 bi, 106 tầng, 14 lần thử.
3 bi, 93 tầng, 8 lần thử, 93 tầng. 9 lần thử, 130 tầng.
4 bi, 99 tầng, 7 lần thử. 8 lần thử, 163 tầng.