Nhờ mọi người giải hộ bài toán.

[ThanhLongBin]

Tìm mãi mới thấy sự phụ thuộc như sau giữa N tầng và k lần thử:
2 bi=> N=k*(k+1)/2
3 bi=> N=(k^3+5k)/6
4 bi=>?????

Chào bác RDSS,
Té ra bác vẫn còn "sâu nặng" với bài toán này!
Tôi sẽ cố cùng bác với bác Tuhiep làm cái công thức "gần như tổng quát" vậy.
Trước hết, cần nhắc lại là phương pháp xây dựng dãy số như trên là của bác Tuhiep, nên tôi xin mạo muội lấy chữ cái H để đặt tên cho dãy số.
Với số bi=b, n là số thứ tự của số hạng thứ n trong dãy, H(b,n) là giá trị của số hạng ấy.
Ta chỉ xét b>=2.
Với mọi b, ta luôn có:
H(b,1)=1
H(b,2)=2.
Ta gọi, S(b,k)= tổng các số H(b,n) với n=1..k. Số S(b,k) này chính là số tầng N ứng với số bi =b, và số lần thử =k.
Như bác Tuhiep mô tả, quan hệ đệ quy của các số H(b,n) có dạng:
H(b+1,n+1)=H(b+1,n)+H(b,n).....(1) (Đánh sô công thức cho dễ tìm thôi!)
=> H(b+1,n+1)= S(b,n)+1........(2)
Cho n chạy từ 1 đến k và cộng các đẳng thức (2) lại ta có:
=> S(b+1,k+1)= Tổng [S(b,n); n=1..k] + k+1
Hoặc tương đương:
S(b+1,k)= Tổng [S(b,n); n=1..k-1] + k ...(3)

Ta đã biết
S(2,n)=n(n+1)/2= C(2,n+1) là "Tổ hợp chập 2 của (n+1).
Các bạn nhớ lại công thức: "Tổng các tổ hợp có cùng chập" nhé:
Tổng [C(m,n+m-1), n=1..k-1]=C(m+1,k+m] (4)

Với b= 2:
S(2,k)=k(k+1)/2 =C(2,k+1).
Với b=3:
từ (3) và (4) =>
S(3,k)= Tổng [C(2,n+1);n=1..k-1] +k = C(3,k+1)+C(1,k)= (k-1)k(k+1)/6 +k (5)
Công thức này rút gọn lại thành S(3,k)=k(k^2+5)/6 như bác RDSS đã viết trên.
Còn tôi thì muốn giữ nguyên kết quả (5) để tính "tổng các tổ hợp có cùng chập" cho trường hợp b=4!
Với b=4:
Ta lại áp dụng (3) và (4) để lấy tổng (5):
S(4,k)= C(4,k+2) + C(2,k+1) + C(1,k).

Với mọi b>=4 , công thức tổng quát có dạng:

S(b,k)= C(b,k+b-2) + Tổng [C(i,k+i-1); i=1..(b-2)] (6). (Công thức này tôi mới sửa lại hôm nay, Nov. 12)
Tôi cố tình không rút gọn các biểu thức C(..,..) để tiện áp dụng công thức (4).
Trình bày hơi dài, thế nào cũng bị bác Tuhiep "phê bình" đây!

[RDSS]

Chào bác RDSS,
S(3,k)= Tổng [C(2,n+1);n=1..k-1] +k = C(3,k+1)+C(1,k)= (k-1)k(k+1)/6 +k (5)
Công thức này rút gọn lại thành S(3,k)=k(k^2+5)/6 như bác RDSS đã viết trên.
Còn tôi thì muốn giữ nguyên kết quả (5) để tính "tổng các tổ hợp có cùng chập" cho trường hợp b=4!
Với b=4:
Ta lại áp dụng (3) và (4) để lấy tổng (5):
S(4,k)= C(4,k+2) + C(2,k+1) + C(1,k).

Với mọi b>=4 , công thức tổng quát có dạng:

S(b,k)= C(b,k+b-2) + Tổng [C(i,k+i-1); i=1..(b-2)] (6). (Công thức này tôi mới sửa lại hôm nay, Nov. 12)
Tôi cố tình không rút gọn các biểu thức C(..,..) để tiện áp dụng công thức (4).
Trình bày hơi dài, thế nào cũng bị bác Tuhiep "phê bình" đây!

Tôi tính ra cho 4 bi như sau:
4 bi=>N=(k^4-2k^3+11k^2+14k)/24
Của Bác là:
4 bi=>N=(k^4+2k^3+11k^2-34k)/24
Không hiểu ai tính chính xác hơn?