Nhờ mọi người giải hộ bài toán.

[tuhiep]

'gởi RDSS
"b=4,k=8=>1,2,4,6,11,16,22,38,49,56,62,64,80,91,98,102,104,106,...132....
Còn bỏ qua các số trung gian thì: ...22,64,106,132..."
chưa hiểu ý bạn.

với b=4, dãy số mình suy ra là:
b=4=> 1.2.4.8.15.26.42.64.93........
b=5=> 1.2.4.8.16.31.57.99.163..
kèm dãy b=5 để tiện xác định N (số tầng)

không cần tính các số trung gian, vì số liền trái là số tầng lên (bi không vở), hay số tầng xuống nếu bi vở.
đường chéo lên bên trái là các số liên hệ khi bi thử bị vở.
còn tính chất gì nữa thì mình chưa khám phá ra.

[RDSS]

'gởi RDSS
"b=4,k=8=>1,2,4,6,11,16,22,38,49,56,62,64,80,91,98,102,104,106,...132....
Còn bỏ qua các số trung gian thì: ...22,64,106,132..."
chưa hiểu ý bạn.

với b=4, dãy số mình suy ra là:
b=4=> 1.2.4.8.15.26.42.64.93........
b=5=> 1.2.4.8.16.31.57.99.163..
.

Với 4 bi 8 lần thử thì lần thử đầu là 64, nếu vỡ thử tầng 22, không vỡ thử 106 rồi 132...Vì thế mình không hiểu sao lại có 42 và 93 trong dãy của bạn.

[tuhiep]

với b=4, dãy số mình suy ra là:
b=4=> 1.2.4.8.15.26.42.64.93........
b=5=> 1.2.4.8.16.31.57.99.163..
"Với 4 bi 8 lần thử thì lần thử đầu là 64, nếu vỡ thử tầng 22, không vỡ thử 106 rồi 132...Vì thế mình không hiểu sao lại có 42 và 93 trong dãy của bạn."
Với 4 bi 8 lần thử thì lần thử đầu là 64, nếu vỡ thử tầng 22(64-42).
không vỡ thử 106 (64+42),nếu không vở đến 132(106+26).
số 93 ứng với b=4 và k=9 thử lần đầu ở tầng 93 và N từ 163 đến 255.
bạn nhìn bảng của mình trục tung là b, trục hoành là k.

[RDSS]

Tìm mãi mới thấy sự phụ thuộc như sau giữa N tầng và k lần thử:
2 bi=> N=k*(k+1)/2
3 bi=> N=(k^3+5k)/6
4 bi=>?????

[ThanhLongBin]

Tìm mãi mới thấy sự phụ thuộc như sau giữa N tầng và k lần thử:
2 bi=> N=k*(k+1)/2
3 bi=> N=(k^3+5k)/6
4 bi=>?????

Chào bác RDSS,
Té ra bác vẫn còn "sâu nặng" với bài toán này!
Tôi sẽ cố cùng bác với bác Tuhiep làm cái công thức "gần như tổng quát" vậy.
Trước hết, cần nhắc lại là phương pháp xây dựng dãy số như trên là của bác Tuhiep, nên tôi xin mạo muội lấy chữ cái H để đặt tên cho dãy số.
Với số bi=b, n là số thứ tự của số hạng thứ n trong dãy, H(b,n) là giá trị của số hạng ấy.
Ta chỉ xét b>=2.
Với mọi b, ta luôn có:
H(b,1)=1
H(b,2)=2.
Ta gọi, S(b,k)= tổng các số H(b,n) với n=1..k. Số S(b,k) này chính là số tầng N ứng với số bi =b, và số lần thử =k.
Như bác Tuhiep mô tả, quan hệ đệ quy của các số H(b,n) có dạng:
H(b+1,n+1)=H(b+1,n)+H(b,n).....(1) (Đánh sô công thức cho dễ tìm thôi!)
=> H(b+1,n+1)= S(b,n)+1........(2)
Cho n chạy từ 1 đến k và cộng các đẳng thức (2) lại ta có:
=> S(b+1,k+1)= Tổng [S(b,n); n=1..k] + k+1
Hoặc tương đương:
S(b+1,k)= Tổng [S(b,n); n=1..k-1] + k ...(3)

Ta đã biết
S(2,n)=n(n+1)/2= C(2,n+1) là "Tổ hợp chập 2 của (n+1).
Các bạn nhớ lại công thức: "Tổng các tổ hợp có cùng chập" nhé:
Tổng [C(m,n+m-1), n=1..k-1]=C(m+1,k+m] (4)

Với b= 2:
S(2,k)=k(k+1)/2 =C(2,k+1).
Với b=3:
từ (3) và (4) =>
S(3,k)= Tổng [C(2,n+1);n=1..k-1] +k = C(3,k+1)+C(1,k)= (k-1)k(k+1)/6 +k (5)
Công thức này rút gọn lại thành S(3,k)=k(k^2+5)/6 như bác RDSS đã viết trên.
Còn tôi thì muốn giữ nguyên kết quả (5) để tính "tổng các tổ hợp có cùng chập" cho trường hợp b=4!
Với b=4:
Ta lại áp dụng (3) và (4) để lấy tổng (5):
S(4,k)= C(4,k+2) + C(2,k+1) + C(1,k).

Với mọi b>=4 , công thức tổng quát có dạng:

S(b,k)= C(b,k+b-2) + Tổng [C(i,k+i-1); i=1..(b-2)] (6). (Công thức này tôi mới sửa lại hôm nay, Nov. 12)
Tôi cố tình không rút gọn các biểu thức C(..,..) để tiện áp dụng công thức (4).
Trình bày hơi dài, thế nào cũng bị bác Tuhiep "phê bình" đây!

[RDSS]

Chào bác RDSS,
S(3,k)= Tổng [C(2,n+1);n=1..k-1] +k = C(3,k+1)+C(1,k)= (k-1)k(k+1)/6 +k (5)
Công thức này rút gọn lại thành S(3,k)=k(k^2+5)/6 như bác RDSS đã viết trên.
Còn tôi thì muốn giữ nguyên kết quả (5) để tính "tổng các tổ hợp có cùng chập" cho trường hợp b=4!
Với b=4:
Ta lại áp dụng (3) và (4) để lấy tổng (5):
S(4,k)= C(4,k+2) + C(2,k+1) + C(1,k).

Với mọi b>=4 , công thức tổng quát có dạng:

S(b,k)= C(b,k+b-2) + Tổng [C(i,k+i-1); i=1..(b-2)] (6). (Công thức này tôi mới sửa lại hôm nay, Nov. 12)
Tôi cố tình không rút gọn các biểu thức C(..,..) để tiện áp dụng công thức (4).
Trình bày hơi dài, thế nào cũng bị bác Tuhiep "phê bình" đây!

Tôi tính ra cho 4 bi như sau:
4 bi=>N=(k^4-2k^3+11k^2+14k)/24
Của Bác là:
4 bi=>N=(k^4+2k^3+11k^2-34k)/24
Không hiểu ai tính chính xác hơn?

[tuhiep]

Gởi ThanhLongBien
Bài viết trên thật hay. duy công thức (4)mình thật sự không biết
"Các bạn nhớ lại công thức: "Tổng các tổ hợp có cùng chập" nhé:
Tổng [C(m,n+m-1), n=1..k-1]=C(m+1,k+m] (4)".
bạn nhìn vấn đề ở góc nhìn đại số rất hay. Thoả mãn tầm nhìn vươn lên của toán.
Ở đây mình nêu 1 cách nhìn khác. góc nhìn hình học.
bảng số lập ra theo cách mình làm có gì đó tựa như tam giác Pascal.
Thêm 1 hàng số 1 trên cùng ứng với b=1 nữa là trọn bảng.
ứng với 1 cặp (k,b) ta có 1 vị trí trên bảng. liền trái là (k-1,b),và trên liền trái nầy (k-1,b-1).
ở mỗi vị trí thử bi, tuỳ bi không vở hay vở, bạn bước qua vị trí liền trái hay vitri (k-1,b-1).
Như vậy bạn giải quyết bài toán mà không phải suy nghĩ thêm gì.
Điều nầy sẽ tượng tự như ý nghĩa hình học trong ứng dụng hệ thức Newton.
Cám ơn bạn RDSS đã cho mình một bài toán rất vui, gợi nhiều kĩ niệm thuở học trò.

[ThanhLongBin]

Gởi ThanhLongBien
Bài viết trên thật hay. duy công thức (4)mình thật sự không biết
"Các bạn nhớ lại công thức: "Tổng các tổ hợp có cùng chập" nhé:
Tổng [C(m,n+m-1), n=1..k-1]=C(m+1,k+m] (4)".
bạn nhìn vấn đề ở góc nhìn đại số rất hay. Thoả mãn tầm nhìn vươn lên của toán.
Ở đây mình nêu 1 cách nhìn khác. góc nhìn hình học.
bảng số lập ra theo cách mình làm có gì đó tựa như tam giác Pascal.
Thêm 1 hàng số 1 trên cùng ứng với b=1 nữa là trọn bảng.
ứng với 1 cặp (k,b) ta có 1 vị trí trên bảng. liền trái là (k-1,b),và trên liền trái nầy (k-1,b-1).
ở mỗi vị trí thử bi, tuỳ bi không vở hay vở, bạn bước qua vị trí liền trái hay vitri (k-1,b-1).
Như vậy bạn giải quyết bài toán mà không phải suy nghĩ thêm gì.
Điều nầy sẽ tượng tự như ý nghĩa hình học trong ứng dụng hệ thức Newton.
Cám ơn bạn RDSS đã cho mình một bài toán rất vui, gợi nhiều kĩ niệm thuở học trò.

Chào hai Bác Tuhiep và RDSS,
Tôi cũng đã định có lời cám ơn bác RDSS nhưng bác Tuhiep đã đi trước một bước!
Vậy thì cứ cám ơn cả hai bác đã cùng tôi chia sẻ vài phút thư giãn, giúp ta trẻ lại cái thuở học trò...
Bài toán vui này ko ngờ lại hàm chứa nhiều ý tưởng sâu xa: hình học, toán tổ hợp, chuỗi số Fibonaci...
Công thức (4) ấy, bác Tuhiep chỉ cần 5 phút vô wiki kiểm tra tính chất của nhị thức Newton là thấy ngay. Còn nếu mạng chậm, thì bác cứ chứng minh bằng quy nạp theo k (với m cố định bất kỳ) thì chỉ mất có 2 phút thôi! .

Công thức (6) có thể chưa chính xác, tôi sẽ kiểm tra lại và cố rút gọn nếu có thể, nên bác RDSS chịu khó đợi mấy bữa nhé!
Chúc hai bác luôn vui khỏe và yêu đời.

[tuhiep]

gởi ThanhLongBien
"Tổng [C(m,n+m-1), n=1..k-1]=C(m+1,k+m] (4)"
mình dùng cách qui nạp như bạn chỉ thì nhận thấy là:
Tổng [C(m,n+m-1), n=1..k]=C(m+1,k+m] (4b) n=1...k
bạn xem lại mình ghi chuẩn không?
cám ơn trước.

[tuhiep]

gởi RDSS
"RDSS ghi:
Tôi tính ra cho 4 bi như sau:
4 bi=>N=(k^4-2k^3+11k^2+14k)/24
Của Bác là:
4 bi=>N=(k^4+2k^3+11k^2-34k)/24
Không hiểu ai tính chính xác hơn?"
còn trên bảng của mình là:
b=4 với k lần lượt 6,7,8,9 => N(max)= 56;98;162;255
nào cùng xem độ chính xác nhe.